Es difícil saber con exactitud las creencias de Gödel, aunque lo que sí se conoce de él es que era un hombre religioso, teísta y miembro de la iglesia protestante.
Fue en 1970 cuando distribuyó entre sus colegas de profesión una prueba en la cual mediante argumentaciones lógico-matemáticas probaba la existencia de Dios. Este razonamiento matemático no tenía como intención convencer de la existencia de Dios, sino demostrar que el llamado "argumento ontológico" de la existencia de Dios es válido.
LA PRUEBA ONTOLÓGICA
La prueba ontológica es un razonamiento formulado muchas veces en la historia que intenta demostrar la existencia de Dios de un modo puramente lógico. En una de sus versiones más sencillas, la prueba reza así: “Dios, por definición, es lo más perfecto que puede ser pensado. Si pensáramos en Dios como inexistente, entonces no sería realmente la idea de Dios, pues tendría la imperfección de no existir. Entonces, la oración ‘Dios existe’ es necesariamente verdadera. Por lo tanto, Dios existe.”
Durante mucho tiempo, esta prueba fue refinada, analizada, afirmada y refutada por muchos filósofos. Algunos adujeron que era incorrecta porque el punto a probar estaba contenido en la premisa misma. Otros afirmaron que el argumento dependía de algunos conceptos borrosos, tales como perfección, pensamiento y existencia. Otros, como Schopenhauer, afirmaron que se trataba de una prueba correcta, excepto porque de la validez de un argumento no se puede nunca seguir la existencia de un objeto, pues la existencia no es un concepto lógico sino un "hecho ontológico".
LA TEORÍA DE GÖDEL
A este debate se sumó el filósofo y matemático Kurt Gödel (1906-1978), famoso por sus desarrollos en el campo de la lógica formal y sobre todo por el teorema de la incompletud, que se vio seducido también por las singulares propiedades de este importante argumento.
Su idea fue la siguiente: si es posible probar que el argumento es válido en su estructura lógica, entonces podremos rechazar las objeciones que afirman que ese argumento depende del contenido de sus conceptos, es decir, la validez del argumento radica en su estructura y no en sus conceptos.
Gödel se puso manos a la obra: desarrolló un conjunto de axiomas (principios de los que se seguirán los teoremas, esto es, las verdades probadas dentro de un sistema formal), además de un conjunto de definiciones formales (expresiones que explican el significado de ciertos signos mediante sus relaciones con otros sin necesidad de explicar el contenido de los signos) y, aplicando los principios de la lógica formal (sistema desarrollado por el lógico y filósofo Gotttlob Frege que intentaba sistematizar las reglas del pensamiento por medio de un sistema parecido al algebraico) demostró una versión puramente estructural del argumento Ontológico.
Dos científicos prueban que el teorema de Gödel sobre la existencia de un ser superior es correcto
Hace unos días, dos científicos Christoph Benzmüller de la Universidad Libre de Berlín y Bruno Woltzenlogel de la Universidad Técnica de Viena han probado informáticamente el teorema de Gödel, desarrollado a finales del siglo pasado por el matemático austríaco Kurt Gödel, que concluía que en base a los principios de la lógica debe existir un ser superior.
Gödel argumentó que, por definición, no puede "existir nada más" grande de un ser supremo, y propuso un modelo matemático para demostrar su existencia, basado en seis axiomas.
Los científicos alemán y austriaco han demostrado que la argumentación de Gödel era matemáticamente correcta. Sin embargo, los matemáticos están interesados en subrayar que este trabajo tiene más "que ver con la demostración de que una tecnología superior puede ayudar a la ciencia, que no es el hecho de que Dios exista o no. La prueba ontológica de la existencia de Dios de Gödel - comentó Benzmüller - era más que cualquier otra cosa un buen ejemplo de algo inaccesible en las matemáticas o de la inteligencia artificial, que hemos resuelto con la tecnología actual."
Así, estos dos científicos han dejado claro usando la informática actual que el razonamiento de Gödel, si se partía de los axiomas por él propuestos, en efecto llevaba a la conclusión o teorema al que él llegaba.
Es decir, con esta prueba realizada los científicos no han demostrado que Dios exista, y tampoco es eso lo que intentaban. Lo que han logrado a través de computadoras es demostrar que la lógica de Gödel sobre la prueba ontológica de la existencia de Dios es rigurosamente cierta, algo que sin duda no llevará a muchos nuevos creyentes a Dios pero que sí supone un éxito de su genial razonamiento.
LA FÍSICA Y LAS MATEMÁTICAS, ¿PODEMOS CONFIAR AÚN EN ELLAS?
Ya ha salido el susodicho teorema para concluir que las mates y la física son incompletas y por lo tanto no podemos confiar en ellas.
Esa conclusión, partiendo del magnífico trabajo de Kurt Gödel, es tan acertada como atribuirle al Quijote la expresión:
"Cosas veredes, Sancho"
Pues sí amigos, cosas veredes.
¿Qué dijo Gödel?, ¿Terminó con la utilidad de las matemáticas?, ¿Las sentenció a muerte?, ¿Todas las ciencias que dependan de las matemáticas están abocadas al fracaso?
Pues no, tranquilos, este hombre lo que hizo fue estudiar la matemática desde el punto de vista de su fundamento lógico. Desnudó a la matemática de todo significado y estudió las condiciones en las que la matemática se desarrollaba. Y su trabajo fue fundamental para entender la base de la matemática y deliciosamente inútil respecto al trabajo diario de un matemático. Así de simple y así de hermoso.
Sin embargo, sus resultados pueden que sean de los más empleados en discusiones ajenas a la matemática, casi siempre fuera de todo el contexto en el que sus teoremas tenían significado. Los teoremas de incompletitud de Gödel, se han pervertido hasta límites insospechados. Y generalmente, todo parecido con la realidad es pura coincidencia.
¿Qué es la matemática?
La matemática no es más que una serie de afirmaciones que se prueban ciertas o falsas en términos de unas afirmaciones previas siguiendo unas reglas establecidas, partiendo de unas afirmaciones iniciales que tomamos como ciertas porque sí.
Es decir, en matemática trabajamos con:
1.- Definimos unos objetos.
Números, vectores, funciones, conjuntos… llámalo X.
2.- Definimos unas afirmaciones que tomamos como ciertas.
A esto lo llamamos: AXIOMAS.
3.- Definimos unas reglas para manipular los objetos que hemos definido anteriormente.
4.- Haciendo uso de los objetos, las reglas definidas y los axiomas nos planteamos si una determinada afirmación que involucra dichos objetos es cierta o no dentro de este esquema.
Estas afirmaciones que se prueban como verdaderas dentro de este sistema los llamamos: TEOREMAS.
Y ESTOS TEOREMAS SON VERDAD ÚNICAMENTE DENTRO DEL ESQUEMA EN EL QUE SE HAN PROBADO COMO CIERTOS.
Al conjunto de puntos del 1 al 4 lo podemos llamar: SISTEMA FORMAL.
Por ejemplo, si yo digo:
Los ángulos de un triángulo suman 180º
Pero en una esfera, donde los axiomas de la geometría son diferentes a los de la geometría euclídea, esto no es cierto.
Por lo tanto, una cosa puede ser cierta en un sistema formal y falsa en otro.
Incompletitud
El caso es que Gödel dijo que en un sistema formal cerrado se podría dar el caso de poder formar una afirmación dentro de la que no podríamos decidir si era cierta o falsa.
En general, solemos pensar que si una afirmación no es cierta su negación sí lo es:
- Es falso que sea de noche, entonces es cierto que sea de día.
- Es cierto que llueve, entonces es falso que “no llueve”.
Sin embargo, en determinados sistemas formales no podemos probar que una afirmación o su negación sean ciertas o falsas dentro de dicho sistema. Es decir, hay afirmaciones indecidibles. Si encontramos una afirmación de este tipo en un sistema formal se dice que este es INCOMPLETO.
Claro, entonces como la matemática es un sistema formal esto implica que la matemática es incompleta y por tanto habrá cosas que no podamos demostrar.
FALSO.
Esta es la conclusión simplona que nos quieren vender del teorema de Gödel.
Gödel trabajó con la aritmética, y dijo que si esta era consistente, es decir, libre de contradicciones (que una afirmación y su negación fueran ciertas dentro de ella) entonces debería de ser incompleta (exitirían afirmaciones indecidibles).
¿La matemática está condenada?
Pues no
.
¿Por qué?
Porque como el mismo Gödel demostró también existen sistemas formales completos. Todas las afirmaciones dentro de dicho sistema serán decidibles.
Un ejemplo es el sistema de los números reales.
Y es curioso, porque los reales contienen a la aritmética de los naturales que no es completa.
El truco está en que nada nos prohibe ampliar nuestro sistema formal, añadiendo nuevos axiomas, cambiando totalmente el conjunto de objetos, reglas y axiomas matemáticos o cualquier variante que se nos ocurra.
Así pues los matemáticos pueden trabajar tranquilos que si un teorema no se puede probar en una determinada rama de las matemáticas seguro que pueden recurrir a otra.
Entonces la física…
Entonces la física, nada. Es cierto que la física usa las matemáticas para expresar sus ideas y las teorías. Pero también es cierto que no está constreñida a usar aritmética.
Por tanto cuando nos dicen:
La física no puede probarlo todo por el teorema de Gödel.
Están cometiendo dos errores:
1.- La física no es un sistema formal cerrado.
2.- En física hay alguien que decide lo que es verdadero o falso en última instancia: EL EXPERIMENTO.
Aquí ahora podríamos discutir sobre si tendremos una teoría del todo, si esta teoría tendrá un conjunto de axiomas finitos y si estos son análogos a los de la aritmética. Entonces, podríamos discutir más en profundidad.
Por el momento hay que evitar confundir física con los modelos teóricos de la física y no hay que olvidar que es una ciencia experimental donde al final, la verdad o falsedad de un modelo se determina con observaciones y medidas.
En el siguiente enlace hay una aclaración mucho mejor que la que yo puedo hacer sobre el tema. La aclaración viene ni más ni menos que de Carlos Ivorra, profesor de matemáticas en la universidad de Valencia, un grandísimo profesor. Es muy conocido por sus libros, de libre acceso, sobre muchos campos de la matemática:
Libros de Carlos Ivorra
En general, solemos pensar que si una afirmación no es cierta su negación sí lo es:
- Es falso que sea de noche, entonces es cierto que sea de día.
- Es cierto que llueve, entonces es falso que “no llueve”.
Sin embargo, en determinados sistemas formales no podemos probar que una afirmación o su negación sean ciertas o falsas dentro de dicho sistema. Es decir, hay afirmaciones indecidibles. Si encontramos una afirmación de este tipo en un sistema formal se dice que este es INCOMPLETO.
Claro, entonces como la matemática es un sistema formal esto implica que la matemática es incompleta y por tanto habrá cosas que no podamos demostrar.
FALSO.
Esta es la conclusión simplona que nos quieren vender del teorema de Gödel.
Gödel trabajó con la aritmética, y dijo que si esta era consistente, es decir, libre de contradicciones (que una afirmación y su negación fueran ciertas dentro de ella) entonces debería de ser incompleta (exitirían afirmaciones indecidibles).
¿La matemática está condenada?
Pues no
.¿Por qué?
Porque como el mismo Gödel demostró también existen sistemas formales completos. Todas las afirmaciones dentro de dicho sistema serán decidibles.
Un ejemplo es el sistema de los números reales.
Y es curioso, porque los reales contienen a la aritmética de los naturales que no es completa.
El truco está en que nada nos prohibe ampliar nuestro sistema formal, añadiendo nuevos axiomas, cambiando totalmente el conjunto de objetos, reglas y axiomas matemáticos o cualquier variante que se nos ocurra.
Así pues los matemáticos pueden trabajar tranquilos que si un teorema no se puede probar en una determinada rama de las matemáticas seguro que pueden recurrir a otra.
Entonces la física…
Entonces la física, nada. Es cierto que la física usa las matemáticas para expresar sus ideas y las teorías. Pero también es cierto que no está constreñida a usar aritmética.
Por tanto cuando nos dicen:
La física no puede probarlo todo por el teorema de Gödel.
Están cometiendo dos errores:
1.- La física no es un sistema formal cerrado.
2.- En física hay alguien que decide lo que es verdadero o falso en última instancia: EL EXPERIMENTO.
Aquí ahora podríamos discutir sobre si tendremos una teoría del todo, si esta teoría tendrá un conjunto de axiomas finitos y si estos son análogos a los de la aritmética. Entonces, podríamos discutir más en profundidad.
Por el momento hay que evitar confundir física con los modelos teóricos de la física y no hay que olvidar que es una ciencia experimental donde al final, la verdad o falsedad de un modelo se determina con observaciones y medidas.
En el siguiente enlace hay una aclaración mucho mejor que la que yo puedo hacer sobre el tema. La aclaración viene ni más ni menos que de Carlos Ivorra, profesor de matemáticas en la universidad de Valencia, un grandísimo profesor. Es muy conocido por sus libros, de libre acceso, sobre muchos campos de la matemática:
Libros de Carlos Ivorra
