¿Por qué necesita comprender las matemáticas para comprender cómo se propagan los patógenos?
Me he encontrado con muchas personas que discuten temas de epidemiología y salud pública y, sin embargo, tienen poca o ninguna comprensión de las matemáticas subyacentes que se requieren para modelar y comprender cómo se propaga un patógeno a través de una población.
Los sistemas dinámicos y las ecuaciones diferenciales, la teoría de grafos y la teoría de probabilidad / procesos estocásticos están en el corazón de la epidemiología. Yo diría que el trasfondo matemático es en realidad más importante que el biológico.
La biología determina los parámetros básicos que se introducen en el modelo, pero el modelo en sí, así como el análisis del modelo, se trata de matemáticas. De hecho, podemos usar exactamente los mismos tipos de modelos, con solo parámetros diferentes, para estudiar el flujo de información a través de una red social. Lo único que cambia son los parámetros y qué modelo usar.
Sistemas dinámicos y ecuaciones diferenciales
Las ecuaciones diferenciales y diferenciales son los elementos básicos necesarios para comprender incluso el modelo epidemiológico más simple: el modelo susceptible a SIR, infectado, recuperado. Este modelo es un modelo compartimental, y da como resultado la diferencia básica / ecuación diferencial utilizada para calcular el número de reproducción básica (R0 o R nada). Es este modelo básico el que nos ayuda a determinar si un patógeno morirá o si terminamos con una epidemia. También es la base para modelos más complicados, incluido el SVIR, que incluye un estado vacunado, y nos permite estimar si es posible la inmunidad colectiva.
La principal distinción entre una ecuación de diferencia y una ecuación diferencial es que una ecuación de diferencia usa pasos de tiempo discretos, mientras que las ecuaciones diferenciales hacen un análisis con progresión continua de tiempo. Sin embargo, independientemente del método utilizado, los modelos compartimentales se basan en una serie de suposiciones, incluido que cada miembro de cada compartimento es exactamente el mismo que cualquier otro miembro dentro de ese compartimento. No permite ninguna heterogeneidad en las poblaciones.
El modelo SIR
El primer modelo que puede aprender, si está estudiando la dinámica de la epidemiología, es el modelo SIR. Como ya mencioné, el modelo considera tres tipos diferentes de personas (compartimentos): personas susceptibles, personas infectadas y personas recuperadas.
¿Qué causa que una persona se infecte? La respuesta es que entran en contacto con una persona infectada y la infección se propaga. Entonces, hay dos factores diferentes involucrados. Una es la velocidad a la que una persona susceptible entra en contacto con una persona infectada, y la otra es la probabilidad de que una infección se propague, al contacto.
La versión más básica absoluta del modelo no incluye nacimientos y muertes, por lo que las flechas se eliminarían de la descripción anterior. En general, las ecuaciones se ajustan al tamaño total de la población, lo que simplifica mucho las ecuaciones. Los cálculos son los siguientes.
- La fracción de personas susceptibles disminuye a medida que surgen nuevas infecciones a un ritmo que es producto de alguna constante (que representa las probabilidades de contacto y transmisión) y el producto tanto de susceptibles como infectados.
Podemos ver que si hay muy pocas infecciones o muy pocas personas susceptibles, la tasa de infección es baja. Es cuando hay una buena cantidad de personas infectadas y susceptibles que el patógeno se propaga más rápidamente.
2. La población infectada aumenta a medida que se forman nuevas infecciones, pero disminuye a medida que los individuos se recuperan, en cierta medida. Como se puede ver en la ecuación diferencial a continuación, la tasa de nuevas infecciones no es constante. Depende del número de reproducción básico, pero la tasa de nuevas infecciones es proporcional al producto de la fracción de la población que es susceptible y la fracción de la población que está infectada.
Este valor es diferente de R0, que es la cantidad de nuevas infecciones, en promedio, que generaría un solo individuo infectado, cuando se presenta a una población completamente susceptible.
3. Los individuos recuperados terminan en el tercer compartimento.
Podemos ver a partir de estas tres ecuaciones que hay varias maneras de reducir el impacto de una infección. Una es asegurarse de que haya pocas personas susceptibles. Pero también podemos reducir las posibilidades de que personas susceptibles entren en contacto con un individuo infectado. Y nuestra aversión natural a la enfermedad ayuda. Esa es una preocupación sobre las infecciones asintomáticas que aún son contagiosas: puede aumentar enormemente la tasa de contacto entre las personas.
Podemos ver a partir de estas tres ecuaciones que hay varias maneras de reducir el impacto de una infección. Una es asegurarse de que haya pocas personas susceptibles. Pero también podemos reducir las posibilidades de que personas susceptibles entren en contacto con un individuo infectado. Y nuestra aversión natural a la enfermedad ayuda. Esa es una preocupación sobre las infecciones asintomáticas que aún son contagiosas: puede aumentar enormemente la tasa de contacto entre las personas.
Una ligera modificación a este modelo es la adición de un grupo expuesto, que aún no se ha vuelto infeccioso. Este tipo de modo se conoce como el modelo SEIR y tiene una colección de gráficos que se parecen a los siguientes.
Este modelo supone que todos son originalmente susceptibles y que no hay muertes asociadas con la infección.
Crecimiento exponencial y logístico
Una discusión común en epidemias implica un crecimiento exponencial. Este tipo de crecimiento es muy rápido y aumenta con el tiempo. El crecimiento exponencial es muy poderoso. Tome una infección que se duplique una vez por semana. Puede que solo haya una infección para comenzar, pero rápidamente terminas con una gran cantidad de infecciones. Sin embargo, el crecimiento no puede permanecer exponencial para siempre. E incluso en los modelos simplistas discutidos anteriormente, vemos que hay un punto de inflexión, donde la curva se mueve de ser exponencial a ser menos que lineal. La forma real de esta curva se conoce como curva logística.
Modelos más complicados
Es posible agregar más y más compartimentos al modelo SIR básico, y existen muchas variaciones, incluidas las que tienen en cuenta la vacunación y la inmunidad menguante. Pero a medida que se agregan más y más compartimientos, las ecuaciones diferenciales / diferenciales se vuelven cada vez más complicadas y eventualmente se hace muy difícil sacar conclusiones. Ahí es donde necesitamos otro enfoque. Y para eso, necesitamos la teoría de grafos.
Teoría de grafos
Muchas personas me han involucrado en discusiones sobre temas de epidemiología, sin siquiera comprender los conceptos básicos de la teoría de grafos. Cuando las personas piensan en la palabra "gráfico", generalmente piensan en una gráfica de datos en un sistema cartesiano: una gráfica de datos del eje xy del eje y. Pero hay otro significado para la palabra "gráfico" en matemáticas.
Un gráfico es una colección de vértices, que puede representar muchas cosas diferentes, incluidas personas, computadoras, ubicaciones geográficas, etc., junto con una colección de bordes que describen cómo esos vértices están conectados entre sí. Los gráficos nos permiten estudiar la distribución real de las personas y cómo interactúan entre sí. Entonces, la teoría de grafos es importante porque podemos usarla para construir modelos de dinámica epidemiológica que no asuman la homogeneidad.
Aquí hay un ejemplo de gráfico de red social ficticio. Podemos ver que hay toneladas de bordes / nodos junto con muchos bordes / conexiones, pero también parece haber dos grupos distintos que solo están conectados por unos pocos nodos. Esta situación surgiría en casos de dos comunidades bastante aisladas que solo interactúan de vez en cuando, tal vez a través de relaciones diplomáticas o comercio.
Teoría de la probabilidad y procesos estocásticos
La teoría de la probabilidad y los procesos estocásticos son áreas de estudio que nos permiten comprender mejor el mundo real. Y realmente nos ayuda a entender lo que significa R0. Por ejemplo, un R0 superior a uno significa que es probable que ocurra una epidemia , mientras que un R0 menor a uno significa que la epidemia tenderá a extinguirse. Es posible que un patógeno que no sea tan virulento y con un R0 menor que uno, resulte en infecciones a gran escala. Pero tiende a no suceder. Y son las tendencias a largo plazo en epidemias las que queremos controlar con vacunas.
También es importante entender que el número de reproducción básico no es una tasa. Es el número promedio estimado de infecciones generadas en una infección inicial introducida en la población. La forma en que las infecciones múltiples influyen en la tasa de infección es más complicada, como lo indica el modelo SIR. La proporción de individuos infectados a susceptibles en realidad cambia la tasa instantánea de infección.
Simulación por ordenador
Si bien no es exactamente parte de la discusión matemática, la simulación por computadora de epidemias nos permite obtener mucha información de modelos muy complicados. Con las computadoras modernas, podemos producir simulaciones muy robustas, con muchas personas que tienen diferentes propiedades, incluidos diversos grados de inmunidad, diferentes comportamientos sociales, etc. Podemos ejecutar docenas e incluso cientos o miles de simulaciones, y comenzar a obtener idea de qué tipo de situaciones surgirían en el mundo real, en formas que nunca podríamos lograr simplemente mirando modelos altamente simplificados.
Fuente: Artículo escrito por el matemático Daniel Goldman
